联想在数学中的作用是
联想在数学教学中的运用联想是指一种心理过程而引起与之相联的另一种心理过程的现象。
数学联想是数学想象的一种，是依据已掌握的知识技能，通过数学形象和数学直觉的有机结合，对数学形象的性质、特征、规律进行探索和推理。它是一种合情的推理，是培养学生思维灵活性和敏捷性的重要途径。
运用联想与想象写作文
1.运用联想和想象写一篇作文,不少于700字
我与克隆人
听说，卡里奥博士最近研制出了一种克隆机器，媒体立刻报道了这件事。我和几个同学马上去参观。
到了博士的研究所，我们看见了一个有门那么高的大镜子，旁边有一个绿色的按钮。“啊！实验开始了。”我立刻跑了过去。看到卡里奥博士让一名家庭主妇照镜子，然后按一下绿色按钮，只见一个跟那妇女一模一样的人走了出来。然后是卡里奥博士讲话。他说：“这名克隆人无论体型、性格和爱好，都与这名妇女相同，也就是说这个克隆人将代替她做任何的事情。”台下立刻响起了雷鸣般的掌声。许多人争着要克隆。我也按捺不住心里的激动，也上去克隆一下自己。
我站在镜子上，博士一按按钮，一阵刺眼的光一闪，一名眼睛小小的、脑袋大大的“克隆人王浩博”走了出来。我高兴的把他领回了家。
果真，他在我家里一点也不陌生，像我一样看起电视。我想测试他看看，出了一道高难度的数学题让他做，没想到他十分轻松的就做了出来。我高兴的一蹦三尺高。于是，我就让这个克隆人代替了我。
开始的几天，他表现的非常好，妈妈经常表扬我。可是过了几天，他就不像样了。举两个例子：有一天，我的好朋友送了我一本好玩的游戏卡，可是“克隆王浩博”替我收下了。为了不让我发现，他还把游戏卡掰坏了。还有一次，妈妈给了克隆人零花钱，可是他没有告诉我，还把钱都花了。当我知道了，正要找他时，他却不见了。这时听见屋外有人喊到：“克隆人造反了！快跑啊！”我开门一看，果然，大街上一大群一大群的克隆人拿着武器高声喊到：“打倒人类帝国主义！克隆人万岁！”“天哪！快叫警察！”有人喊到。可是警察都已经消失了，因为警察都是克隆人了，他们也随着克隆人的队伍在街上横行。
轰的一声，我一下坐了起来，啊！原来是场梦，真是个可怕的梦啊！
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2.运用联想和想象的作文,标题：爸爸是一片泥土俗话说：“花爱阳光，鱼爱水”，那么小草当然爱泥土喽爸爸是泥土，平凡而朴实。
爸爸是泥土，博大而厚重。爸爸是泥土，我是小草。
泥土哺育着小草。爸爸很爱我，他无时不刻不关心着我，就像泥土爱着小草。
他用实际行动交给我做人的道理，告诉我人生的意义。在我得意时，告诉我“人外有人，天外有天”在我失落时，鼓励我“失败是成功之母”在我16年风雨历程的人生路上，爸爸哺育我很多很多。
爸爸是泥土，我是小草。泥土是小草的教练。
爸爸从小就注意锻炼我的自理能力。每次我换下要洗的袜子、衣服，要包办代替的是妈妈，说着“自己的事情自己做”的是爸爸。
当我学自行车时，几次摔倒，说“长大再学”的是妈妈，喊着“坚持就是胜利”的是爸爸。所以说爸爸是我最严格的教练。
爸爸是泥土，我是小草。泥土熏陶着小草。
爸爸是一个普通工人，具有中国工人的特点。他老实、朴质，帮助别人从来不求回报。
他的话也从来不加修饰，经常说：“好好学吧，今后爸爸帮不上你什么，就靠你自己了，你能上到哪，爸爸就供你上哪。”这些普通的近乎平庸的话，使我久久不能忘怀。
我似乎能感受到他每一次心跳迸发出来的热情，这份源于心底的热情教会我如何面对生活，面对人生。我在爸爸性格的潜移默化下，也变得坚强、踏实、不屈不挠。
我一步一个脚印跟着爸爸走好人生路。爸爸是泥土，我是小草。
泥土关怀着小草。泥土对小草的关怀是默默的，爸爸对我的关怀是深沉的。
他不象妈妈那样唠唠叨叨，而是经常与我谈心时刻注意我的思想，从根本上理解我、关心我。我在爸爸的注视下成长，我忘不了他的眼睛。
就象朱自清忘不了父亲的背影。爸爸看我的每一个眼神都是一种关怀。
爸爸是泥土，我是小草。小草永远爱着泥土，我永远爱着爸爸。
3.作文怎样运用联想与想象联想，就是由当前的某一事物想到另一事物，或由甲事物想到乙事物，或由甲观念想到乙观念的心理过程.想象，是以生活为基础，以记忆中的图景为起点，加工、改造、创造出一个并未直接感知的新事物形象的心理过程.考生面对作文试题提供的概念、图画、人物，要充分调动自己的生活积累，给心灵插上飞向蓝天的翅膀，在想象的天空自由地翱翔.给你一滴水，要能畅想海洋的浩瀚广阔；给你一颗星，要能畅想天空的深邃渺远；给你一棵嫩芽，要能畅想春天的绚丽多姿；给你一片落叶，要能畅想秋日的萧瑟凄凉.例，阅读下面的文字，按要求作文.如果说眼睛是心灵的窗户，眼泪则是窗户永恒的风景.眼泪是情感的升华，是激动时的特殊语言；眼泪是脆弱的自白，是心灵被击破后的碎片……还记得珍藏在记忆中的那颗晶莹的泪珠吗？兴奋的，喜悦的，委屈的，伤心的……请以“眼泪”为话题写一篇文章.要求：①立意自定；②标题自拟；③文体自选；④不少于800字.思路点拨抓住联想、想象的触发点.“触发点”即让人受到触动而引起联想、想象的人、事、景、物等.。
4.大自然别致的景色运用联想和想象写一篇作文描写自然景象的作文
当你游览在青山绿水之中，当你沐浴在阳光雨露之中，当你散步在满天星空之下，当你小憩在小草野花之中……我想，没有一个人会不为大自然创作出这样的杰作而感到惊叹。
记忆中也游过很多的地方，有险峻的黄山，有秀丽的桂林，还有……然而，那次的九寨沟之行，却让我彻彻底底地惊叹了一回。
形容九寨沟，不是单单一个“美”字所能表达清楚的——那儿，古朴的栈道，斑斓的彩林，青蓝色的湖泊，缭绕的云雾，壮丽的雪山，还有或别致，或与众不同的瀑布……哦，对，还有那充满了民族风情的藏族寨子……或许，拥有这其中的任何一样，都是至美的一道风景线。
之前，我们就听说藏族人把这儿的湖泊称为海子——大海之子，一点不假，当我第一眼看到九寨沟的湖时，还真就把它当成了大海之子——青蓝色的湖水，与蓝色的大海的颜色比起来，真可谓是有过之而无不及。只是，毕竟是湖泊，总是比无边无垠的大海小的多，难怪，藏族人会把这里的湖泊称为海子！走在水边的栈道上，放眼望去，青蓝色的湖水与四周山上的彩林的颜色形成强烈的层次感，树的颜色有青翠的绿色，耀眼的红色，古朴的墨绿，淡雅的黄色……看到湖水与彩林的颜色的搭配如此美妙，我不禁感恩大自然，感激大自然的恩惠，感谢大自然带给我们这么美妙的视觉享受！
海子除了青蓝色的水色外，还有一个特点——清澈。湖水很深，甚至最深的地方达到了103米，但是，给人的感觉却是只有一米深——因为，你很容易就能看到湖底，看到湖底的鱼或是“佁然不动”，或是“俶尔远逝”。甚至有人嘟哝道：“都说水至清则无鱼，可为什么这儿的鱼还这么快活？”更有甚者吟起了毛主席的诗词：“江-山-如-此-多-娇，引无数英雄竞折腰。”是啊，到了九寨沟，有谁会不为大自然的创造而折服呢？又有谁会不感恩大自然呢？
看完了各式各样的海子，还是觉得缺了些什么。思前想后，我猛然间发现这儿似乎还缺了些生命力。这里的一切景色、色彩虽然美丽，虽然艳丽，虽然让人眼花缭乱，但是，它们毕竟都是静物，静静地躺着，让人觉察不出丝毫生机。怀着这样想找出一些生命力的心境，我不断地环顾四周，可却没有找到心中的那股生命力。于是，我往前走了几步，希望有新的发现。刹那间——当我的视线越过一座山后，我看到了前面的一片芦苇荡。我眨巴眨巴眼睛——并没有看错啊，可是，通常而言，芦苇都长在海拔800米以下的地方，可九寨沟的海拔都达到了3000米，在这样的高原地带，为什么还会生长着芦苇呢？而且，为什么这儿所生长的芦苇更高，更大呢？
是的，高原对芦苇来说无疑是个恶劣的环境，但是，这些芦苇并没有因此而退缩并放弃这块地方——它们选择了适应环境，选择了勇敢的挑战它们的生存环境，选择了面对现实，选择了靠自己的努力来证实芦苇也同样可以生长在海拔3000米甚至更高的地方！于是，它们成功了，成功地生长在这片高原地上，甚至，比平地上那些不求上进的芦苇长得更高、更大。
走在木栈道上，我不禁被这群顽强的芦苇折服了。在我的眼里，它们不仅仅是一群芦苇——在我眼里，它们更象征了今天的人们所不可缺少的勇于面对现实的精神和顽强的意志。或许，如果一个人能像这片芦苇荡一样，不屈服于恶劣的生存环境，能够面对现实，能有顽强的意志，那么，他将一定会像这高原上的芦苇一样，是成功的！
有了这番感悟之后，我不禁更加感恩大自然，不仅因为它带给了我们视觉上的享受，更因为大自然给予了我人生的启示。
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5.运用联想与想象,以“泥土”为话题写一篇作文标题：爸爸是一片泥土
正文
万物靠泥土孕育，人类在泥土上繁衍，泥土与人类生活息息相关……泥土平凡而朴实，默默奉献而不计回报，功高盖世而不张扬个性，然而泥土却被我们忽视，面对泥土你会有什么样的联想和思考？要求题目中必须有“泥土”两个字。题目自拟，文体不限，不少于600字。
爸爸是一片泥土
俗话说：“花爱阳光，鱼爱水”，那么小草当然爱泥土喽
爸爸是泥土，平凡而朴实。
爸爸是泥土，博大而厚重。
爸爸是泥土，我是小草。泥土哺育着小草。
爸爸很爱我，他无时不刻不关心着我，就像泥土爱着小草。他用实际行动交给我做人的道理，告诉我人生的意义。在我得意时，告诉我“人外有人，天外有天”在我失落时，鼓励我“失败是成功之母”在我16年风雨历程的人生路上，爸爸哺育我很多很多。
爸爸是泥土，我是小草。泥土是小草的教练。
爸爸从小就注意锻炼我的自理能力。每次我换下要洗的袜子、衣服，要包办代替的是妈妈，说着“自己的事情自己做”的是爸爸。当我学自行车时，几次摔倒，说“长大再学”的是妈妈，喊着“坚持就是胜利”的是爸爸。所以说爸爸是我最严格的教练。
爸爸是泥土，我是小草。泥土熏陶着小草。
爸爸是一个普通工人，具有中国工人的特点。他老实、朴质，帮助别人从来不求回报。他的话也从来不加修饰，经常说：“好好学吧，今后爸爸帮不上你什么，就靠你自己了，你能上到哪，爸爸就供你上哪。”这些普通的近乎平庸的话，使我久久不能忘怀。我似乎能感受到他每一次心跳迸发出来的热情，这份源于心底的热情教会我如何面对生活，面对人生。我在爸爸性格的潜移默化下，也变得坚强、踏实、不屈不挠。我一步一个脚印跟着爸爸走好人生路。
爸爸是泥土，我是小草。泥土关怀着小草。
泥土对小草的关怀是默默的，爸爸对我的关怀是深沉的。他不象妈妈那样唠唠叨叨，而是经常与我谈心时刻注意我的思想，从根本上理解我、关心我。我在爸爸的注视下成长，我忘不了他的眼睛。就象朱自清忘不了父亲的背影。爸爸看我的每一个眼神都是一种关怀。
爸爸是泥土，我是小草。小草永远爱着泥土，我永远爱着爸爸。
6.关于一篇运用联想和想象手法的作文还有象征手法也要用上母爱的韵律，让夜微微颤抖
点点月光，悠悠星空，郊区的夜景总是很美。杨柳拂堤，随意坐在小河边的一棵树下，思绪随着微微的晚风轻轻飞。
凝视河中月影，模糊，零散。耳畔传来温柔的话语，好似母亲的叮嘱，我回过头，却什么也没有。坐在他乡异土上，夜的寂寞罩住了我。在外地的我总是长不大。冷清的夜里，在灯下看书时，总怀念着母亲端上来的热茶半梦半醒之间，被子落了，总想着母亲那双勤劳的手，会不会帮我盖好被子……
柔和的月光，给大地批上淡黄色的轻纱睡衣，一切都那么静谧，无声地驱逐着我内心的郁闷。群星散落在月亮周围，那是一种幸福，此时小星星们大概在听月亮妈妈讲述那动听的故事吧.
我不由想起母亲.母亲文化水平不高，但她的脑海中却收藏了无数生动传奇的故事.这些故事已伴我度过了14年的人生旅途，带给我无数乐趣，引发了我对知识的追求.母亲讲述的故事，大都是蕴涵着深刻哲理的，也许母亲不知道，她仅是想给予我快乐，但她的纯朴想法，带动了我悠悠的思绪，牵引我走上写作之路----那些故事是多好的写作素材啊！每当老师在班上念我的文章时，我都会产生巨大的成就感，不单是为自己，更多的是感激母亲.一想到这些，幸福便在我心底悠悠荡起来.
坐在一树新绿下，我轻抚岁月的伤痕.花开花落，童年之叶已悄然从树上落下，青春之花开了.站在15岁的起点上，我回首过去.从嗷
嗷待哺到现在的我，是母亲撒下多少汗水与泪水的结晶啊！母亲给予我的爱，是温柔的，不愠不火，循序渐进地在我身上加工，使我从顽石变为玉石.多少次我犯下错误，母亲为我难过，但却没有父亲那般严厉，而是用最简单朴实的话提醒我，不断将良言输入我的耳朵里.多少次我取得进步，母亲为我而激动，却不曾叮嘱我不要骄傲.
拾起一点点的思绪，我看到母爱飘散在夜月下.爱，是辛苦的，母亲对于孩子的爱是付出孩子对母亲的爱是回报.爱，也是幸福的，与被爱一样.在心灵的净土上播下爱的种子，在母爱的呵护中，梦即使碎了，也依旧完美.
夜，依然很静我，依然是一人.但母爱已在我心中发芽.在黑夜里紧握着爱，我于是不再孤独.
我爱梅花
小小的花瓣，细而有劲的枝，淡淡的粉白，缠绕在周身的芳香。那是一种在冬天才傲然开放的花，那是一种在雪中才显得更加纯白的花，那是一种雪花压不到的花。是的，那就是梅花。在冬雪中傲然挺立的花。五月份，春与夏交接的季节。阳光明媚，姹紫嫣红。迎春花与玉兰花刚刚开败，月季冒出了小小的蕾，一串串粉嘟嘟的桃花，绿草如茵，这一切，都像人们说得那样，是的，这我也同意，春天确实是一个万物复苏的季节。她给人的感觉就是嫩嫩的绿，淡淡的绿，无边无尽的绿，而夏天，绿得更深了，那是翠绿，绿得更加得深沉。然而，冬天，这四季中最没有生气的一个季节，给人的感觉是无边无垠的白，雪花铺天盖地，席卷而来，仅仅能为这枯萎的冬天增添几分绿色的松柏，此时也被盖上了厚厚的雪被。夏天的那些花儿们，此时也只剩下了枯枝烂叶。不再有了往日的娇艳，不再有了往日的富贵，不再有了往日了神气，他们那仅剩下的矮小的枝，也在雪被的压力下累得直喘粗气，只能悲哀的等待着死神的到来。而此时，就在这漫天遍野的雪中，就在这万物的哀叹声中，梅花出现了，就在这雪地中傲然挺立着。她那高而细的枝干，丝毫受不到风雪的影响。傲雪临霜。在风雪中怒放，充满了豪情，挺立着，挺立着，任凭风雪的吹打……这就是我喜爱梅花的原因，坚强不屈。虽然冬天是那样的寒冷，以至于人们都懒得出门，然而梅花却在风雪中开着那小小的花，而这小小的花，所象征的精神，却远比那夏天中艳丽多彩的玫瑰，月季，牡丹高尚的多。你看那梅花，像极了纯白的雪，只是那雪花融化之后，留下的只是一滩污迹，华而不实，虚假的很，而梅花，她是真真正正的纯白，有时还带着一点点粉红，她留下的，是似有似无的芳香。她的朴质与素雅，也不是常人能所及的。你看那在风雪中傲然挺立，怒放着的梅花，难道你就丝毫没有感受到她的美吗？难道在漫无边际的白雪中，你突然看到前方有一株挺立着的梅花，你就不被她那种不畏寒霜，坚强不屈的精神所感染吗？难道你不曾想到，她与红军战士们坚强不屈的精神多少有些相似吗？难道你就没有想到，这傲雪临霜的雪梅，真真切切的象征了我们的革命战士们，象征了他们那种顽强不屈，勇于拼搏，渴望着暴风雪的来临的那种精神，那种意志品质吗？人们赞美牡丹，是因为它的富贵，赞美荷花，是因为它的出淤泥而不染，而我赞美梅花，是因为她的那种坚强不屈，傲雪斗霜的精神，同时也象征了那些在困难面前不低头，越挫越勇的人们！
7.用联想和想象写小草作文400字我是一棵小草
“没有花香，没有树高，我是一棵无人知落的小草”，每当听起这一首歌，我就会不由自主的唱起来，因为我希望自己是一棵小草。
我是一棵小草。春天来了，春雨在滋润着我，春姑娘给了我一身碧绿的衣裳。太阳公公还没起床，我身上已经有了一些点缀品。小蜜蜂。蝴蝶早上起来给我打招呼”你好，小草！”
我是一棵小草，当夏季来临时，我尽情的享受着太阳的照射，一群小朋友在玩闹，“在这一尘不染的草地上舒服的睡一觉，真是太好了！”我听到这一句话，真是幸福极了。
我是一棵小草，秋姑娘宽大的衣衫给大地带来了金色，树叶慢慢落了，我也枯萎了，一位老奶奶把我的兄弟姐们们收集在一个箩筐里，晒在院子里。过了一些天，老奶奶把我放在厨房里。我知道我的最后时刻到了，我默默的等待着…。.
我是一棵小草，虽然我枯萎了，但是我还会在生长出来的，因为我的生命力很强，“野火烧不尽，春风吹又生”吗！
我是一棵小草，虽然我没有花那麽芬芳清香，但是我的生命力很顽强。我感到很幸福，因为我牺牲了自己，给别人带来了好处。我感到骄傲，感到自豪。
8.常见的写作手法中,联想和想象的区别,请分别举例说明.举例说明,联想是动词.因一事物而想起与之有关事物的思想活动；由于某人或某种事物而想起其他相关的人或事物；由某一概念而引起其他相关的概念.联想是暂时神经联系的复活，它是事物之间联系和关系的反应.例如：朱自清的《春》里面的“春花图”，在描写春花的时候，由眼前的带着“甜味”的春花联想到秋天的甘甜的果实，就是联想.想象是人在朱自清头脑里对已储存的表象进行加工改造形成新形象的心理过程.它是一种特殊的思维形式.想象与思维有着密切的联系，都属于高级的认知过程，它们都产生于问题的情景，由个体的需要所推动，并能预见未来，也可理解为对于不在眼前的事物想出它的具体形象；设想.例如：郭沫若的《天上的街市》，由眼前的街灯写到天上的“街灯”星星，进而写到天上的“街市”，并且对天上的“街市”——有眼前的街市到天上的“街市”属于联想，而对天上的“街市”情景的描写就属于“想象”.联想是想象的基础，是想象的开端，想象是在联想基础上的再创造。
数学是什么
我国古奇普，印加帝国时所使用的计数工具。数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ�0�2�0�9（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ�0�4θημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
历史奇普，印加帝国时所使用的计数工具。数学，起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，亦被古希腊学者视为哲学之起点。数学的希腊语μαθηματικ�0�2�0�9（mathematikós）意思是“学问的基础”，源于μ�0�4θημα（máthema）（“科学，知识，学问”）。
数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。第一个被抽象化的概念大概是数字，其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破。除了认知到如何去数实际物质的数量，史前的人类亦了解了如何去数抽象物质的数量，如时间－日、季节和年。算术(加减乘除)也自然而然地产生了。古代的石碑亦证实了当时已有几何的知识。
更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加帝国内用来储存数据的奇普。历史上曾有过许多且分歧的记数系统。
从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做税务和贸易等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。
到了16世纪，算术、初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备。17世纪变量概念的产生使所有的人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在研究经典力学的过程中，微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等也开始慢慢发展。
数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。依据Mikhail B. Sevryuk于美国数学会通报2006年1月的期刊中所说，“存在于数学评论数据库中论文和书籍的数量自1940年(数学评论的创刊年份)现已超过了一百九十万份，而且每年还增加超过七万五千份的细目。此一学海的绝大部份为新的数学定理及其证明。”分支1.算术
2.初等代数
3.高等代数
4.数论
5.欧式几何
6.非欧式几何
7.解析几何
8.微分几何
9.代数几何
10.射影几何学
11.拓扑几何学
12.拓扑学
13.分形几何
14.微积分学
15.实变函数论
16.概率和数量统计
17.复变函数论
18.泛函分析
19.偏微分方程
20.常微分方程
21.数理逻辑
22.模糊数学
23.运筹学
24.计算数学
25.突变理论
26.数学物理学 27.计算方法详细请见词条：数学分支符号、语言与严谨在现代的符号中，简单的表示式可能描绘出复杂的概念。此一图像即是由一简单方程所产生的。
我们现今所使用的大部份数学符号都是到了16世纪后才被发明出来了。在此之前，数学被以文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于专家而言更容易去控作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。
数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思。亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语亦包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。
严谨是数学证明中很重要且基本的一部份。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免错误的“定理”，依着不可靠的直观，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所做的定义到了十九世纪才重新以小心的分析及正式的证明来处理。今日，数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计量难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。各领域早期的数学完全着重在演算实际运算的需要上，有如反映在中国算盘上的一般。如同上面所述一般，数学主要的学科首要产生于商业上计算的需要、了解数字间的关系、测量土地及预测天文事件。这四种需要大致地与数量、结构、空间及变化(即算术、代数、几何及分析)等数学上广泛的子领域相关连著。除了上述主要的关注之外，亦有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：至逻辑、至集合论(基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、及较近代的至不确定性的严格学习。
数量
数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的自然数及整数的算术运算。整数更深的性质被研究于数论中，此一理论包括了如费马最后定理之著名的结果。数论还包括两个被广为探讨的未解问题：孪生素数猜想及哥德巴赫猜想。
当数系更进一步发展时，整数被承认为有理数的子集，而有理数则包含于实数中，连续的数量即是以实数来表示的。实数则可以被进一步广义化成复数。数的进一步广义化可以持续至包含四元数及八元数。自然数的考虑亦可导致超限数，它公式化了计数至无限的这一概念。另一个研究的领域为其大小，这个导致了基数和之后对无限的另外一种概念：艾礼富数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。
结构
许多如数及函数的集合等数学物件都有着内含的结构。这些物件的结构性质被探讨于群、环、体及其他本身即为此物件的抽象系统中。此为抽象代数的领域。在此有一个很重要的概念，即向量，且广义化至向量空间，并研究于线性代数中。向量的研究结合了数学的三个基本领域：数量、结构及空间。向量分析则将其扩展至第四个基本的领域内，即变化。
空间
空间的研究源自于几何－尤其是欧式几何。三角学则结合了空间及数，且包含有着名的勾股定理。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何(其在广义相对论中扮演著核心的角色)及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何物件的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。在其许多分支中，拓扑学可能是二十世纪数学中有着最大进展的领域，并包含有存在久远的庞加莱猜想及有争议的四色定理，其只被电脑证明，而从来没有由人力来验证过。
基础与哲学
为了搞清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。康托（Georg Cantor，1845-1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的存在，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。Cantor的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，就连被誉为“博大精深，富于创举”的数学家Pioncare也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师Kronecker还击Cantor是“神经质”，“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责，Cantor仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。Cantor由于经常处于精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后死于精神病院。
然而，历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家Hilbert在德国传播了Cantor的思想，把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家Russell把Cantor的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果－总存在一不能被证明的真实定理。现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关连性。
恩格斯说：“数学是研究现定世界的数量关系与空间形式的科学。”
离散数学
离散数学是指对理论计算机科学最有用处的数学领域之总称，包含有可计算理论、计算复杂性理论及信息论。可计算理论检查电脑的不同理论模型之极限，包含现知最有力的模型－图灵机。复杂性理论研究可以由电脑做为较易处理的程度；有些问题即使理论是可以以电脑解出来，但却因为会花费太多的时间或空间而使得其解答仍然不为实际上可行的，尽管电脑硬件的快速进步。最后，信息论专注在可以储存在特定媒体内的资料总量，且因此有压缩及熵等概念。
做为一相对较新的领域，离散数学有许多基本的未解问题。其中最有名的为P/NP问题－千禧年大奖难题之一。一般相信此问题的解答是否定的。
应用数学
应用数学思考将抽象的数学工具运用在解答科学、工商业及其他领域上之现实问题。应用数学中的一重要领域为统计学，它利用机率论为其工具并允许对含有机会成分的现象进行描述、分析与预测。大部份的实验、测量及观察研究需要统计对其资料的分析。(许多的统计学家并不认为他们是数学家，而比较觉得是合作团体的一份子。)数值分析研究如何有效地用电脑的方法解决大量因太大而不可能以人类的演算能力算出的数学问题；它亦包含了对计算中舍入误差或其他来源的误差之研究。
模糊数学
现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念（内涵），也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合。从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是，数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴。
在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果。但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种因素相互交错，系统很复杂，它的模糊性也很明显。从认识方面说，模糊性是指概念外延的不确定性，从而造成判断的不确定性。
在日常生活中，经常遇到许多模糊事物，没有分明的数量界限，要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如，比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远……。在人们的工作经验中，往往也有许多模糊的东西。例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、成分比例和冶炼时间等精确信息外，还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此，除了很早就有涉及误差的计算数学之外，还需要模糊数学。
人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。广义的数学分类从纵向划分：
1、初等数学和古代数学：这是指17世纪以前的数学。主要是古希腊时期建立的欧几里得几何学，古代中国、古印度和古巴比伦时期建立的算术，欧洲文艺复兴时期发展起来的代数方程等。
2、变量数学：是指17--19世纪初建立与发展起来的数学。从17世纪上半叶开始的变量数学时期，可以分为两个阶段：17世纪的创建阶段（英雄时代）与18世纪的发展阶段（创造时代）。
3、近代数学：是指19世纪的数学。近代数学时期的19世纪是数学的全面发展与成熟阶段，数学的面貌发生了深刻的变化，数学的绝大部分分支在这一时期都已经形成，整个数学呈现现出全面繁荣的景象。
4、现代数学：是指20世纪的数学。1900年德国著名数学家希尔伯特（D. Hilbert）在世界数学家大会上发表了一个著名演讲，提出了23个预测和知道今后数学发展的数学问题（见下），拉开了20世纪现代数学的序幕。
注：希尔伯特的23个问题——
在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题通称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未解决。他在讲演中所阐发的想信每个数学问题都可以解决的信念，对于数学工作者是一种巨大的鼓舞。
希尔伯特的23个问题分属四大块：第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。现在只列出一张清单：
（1）康托的连续统基数问题。
（2）算术公理系统的无矛盾性。
（3）只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的。
（4）两点间以直线为距离最短线问题。
（5）拓扑学成为李群的条件（拓扑群）。
（6）对数学起重要作用的物理学的公理化。
（7）某些数的超越性的证明。
（8）素数分布问题，尤其对黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素共问题。
（9）一般互反律在任意数域中的证明。
（10）能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解？
（11）一般代数数域内的二次型论。
（12）类域的构成问题。
（13）一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性。
（14）某些完备函数系的有限的证明。
（15）建立代数几何学的基础。
（16）代数曲线和曲面的拓扑研究。
（17）半正定形式的平方和表示。
（18）用全等多面体构造空间。
（19）正则变分问题的解是否总是解析函数？
（20）研究一般边值问题。
（21）具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明。
（22）用自守函数将解析函数单值化。
（23）发展变分学方法的研究。
从横向划分：
1、基础数学（英文：Pure Mathematics）。又称为理论数学或纯粹数学，是数学的核心部分，包含代数、几何、分析三大分支，分别研究数、形和数形关系。
2、应用数学。简单地说，也即数学的应用。
3、计算数学。研究诸如计算方法（数值分析）、数理逻辑、符号数学、计算复杂性、程序设计等方面的问题。该学科与计算机密切相关。
4、概率统计。分概率论与数理统计两大块。5、运筹学与控制论。运筹学是利用数学方法，在建立模型的基础上，解决有关人力、物资、金钱等的复杂系统的运行、组织、管理等方面所出现的问题的一门学科其它解析另外，对数学还有一些更加广义的理解。如，有人认为，“数学是一种文化体系”，“数学是一种语言”，数学活动是社会性的，它是在人类文明发展的历史进程中，人类认识自然、适应和改造自然、完善自我与社会的一种高度智慧的结晶。数学对人类的思维方式产生了关键性的影响．也有人认为，数学是一门艺术，“和把数学看作一门学科相比，我几乎更喜欢把它看作一门艺术，因为数学家在理性世界指导下（虽然不是控制下）所表现出的经久的创造性活动，具有和艺术家的，例如画家的活动相似之处，这是真实的而并非臆造的。数学家的严格的演绎推理在这里可以比作专门注技巧。就像一个人若不具备一定量的技能就不能成为画家一样，不具备一定水平的精确推理能力就不能成为数学家，这些品质是最基本的，它与其它一些要微妙得多的品质共同构成一个优秀的艺术家或优秀的数学家的素质，其中最主要的一条在两种情况下都是想象力。”“数学是推理的音乐，”而“音乐是形象的数学”．这是从数学研究的过程和数学家应具备的品质来论述数学的本质，还有人把数学看成是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。尼斯（MogensNiss）等在《社会中的数学》一文中认为，数学是一门学科，“在认识论的意义上它是一门科学，目标是要建立、描述和理解某些领域中的对象、现象、关系和机制等。如果这个领域是由我们通常认为的数学实体所构成的，数学就扮演着纯粹科学的角色。在这种情况下，数学以内在的自我发展和自我理解为目标，独立于外部世界，另一方面，如果所考虑的领域存在于数学之外，数学就起着用科学的作用，数学的这两个侧面之间的差异并非数学内容本身的问题，而是人们所关注的焦点不同。无论是纯粹的还是应用的，作为科学的数学有助于产生知识和洞察力。数学也是一个工具、产品以及过程构成的系统，它有助于我们作出与掌握数学以外的实践领域有关的决定和行动，数学是美学的一个领域，能为许多醉心其中的人们提供对美感、愉悦和激动的体验，作为一门学科，数学的传播和发展都要求它能被新一代的人们所掌握。数学的学习不会同时而自动地进行，需要靠人来传授，所以，数学也是我们社会的教育体系中的一个教学科目．”从上所述可以看出，人们是从数学内部（又从数学的内容、表现形式及研究过程等几个角度）。数学与社会的关系、数学与其它学科的关系、数学与人的发展的关系等几个方面来讨论数学的性质的。它们都从一个侧面反映了数学的本质特征，为我们全面认识数学的性质提供了一个视角。基于对数学本质特征的上述认识，人们也从不同侧面讨论了数学的具体特点。比较普遍的观点是，数学有抽象性、精确性和应用的广泛性等特点，其中最本质的特点是抽象性。A，。亚历山大洛夫说，“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地觉察到数学的这些特点：第一是它的抽象性，第二是精确性，或者更好他说是逻辑的严格性以及它的结论的确定性，最后是它的应用的极端广泛性”王梓坤说，“数学的特点是：内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确必”这种看法主要从数学的内容、表现形式和数学的作用等方面来理解数学的特点，是数学特点的一个方面。另外，从数学研究的过程方面、数学与其它学科之间的关系方面来看，数学还有形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”的特点。对数学特点的认识也是有时代特征的，例如，关于数学的严谨性，在各个数学历史发展时期有不同的标准，从欧氏几何到罗巴切夫斯基几何再到希尔伯特公理体系，关于严谨性的评价标准有很大差异，尤其是哥德尔提出并证明了“不完备性定理…以后，人们发现即使是公理化这一曾经被极度推崇的严谨的科学方法也是有缺陷的。因此，数学的严谨性是在数学发展历史中表现出来的，具有相对性。关于数学的似真性，波利亚在他的《数学与猜想》中指出，“数学被人看作是一门论证科学。然而这仅仅是它的一个方面，以最后确定的形式出现的定型的数学，好像是仅含证明的纯论证性的材料，然而，数学的创造过程是与任何其它知识的创造过程一样的，在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合然后加以类比．你得一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”正是从这个角度，我们说数学的确定性是相对的，有条件的，对数学的形象性、似真性、拟经验性。“可证伪性”特点的强调，实际上是突出了数学研究中观察、实验、分析。比较、类比、归纳、联想等思维过程的重要性。
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